1 степень

Зачем нужны степени?

Где они тебе пригодятся?

Почему тебе нужно тратить время на их изучение?

Чтобы узнать ВСЕ О СТЕПЕНЯХ, читай эту статью.

И, конечно же, знание степеней приблизит тебя к успешной сдаче ЕГЭ.

И к поступлению в ВУЗ твоей мечты! 

Let’s go… (Поехали!) 

НАЧАЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ

Возведение в степень – это такая же математическая операция, как сложение, вычитание, умножение или деление.

Сейчас объясню все человеческим языком на очень простых примерах. Будь внимателен. Примеры элементарные, но объясняющий важные вещи.

Начнем со сложения.

Объяснять тут нечего. Ты и так все знаешь: нас восемь человек. У каждого по две бутылки колы. Сколько всего колы? Правильно – 16 бутылок.

Теперь умножение.

Тот же самый пример с колой можно записать по-другому:  . Математики — люди хитрые и ленивые. Они сначала замечают какие-то закономерности, а потом придумывают способ как быстрее их «считать». В нашем случае они заметили, что у каждого из восьми человек одинаковое количество бутылок колы и придумали прием, который называется умножением. Согласись,   считается легче и быстрее, чем  .

И еще одна важная деталь. Ошибок при таком счете делается гораздо меньше. Математики из Стэнфорда, кстати, считают, что человек, знающий приемы счета, делает это в два раза легче и быстрее и совершает в два раза меньше ошибок. Работы меньше, а результат лучше. Круто, да?

Вот таблица умножения. Повторяй. Итак, чтобы считать быстрее, легче и без ошибок, нужно всего лишь запомнить таблицу умножения. Ты, конечно, можешь делать все медленнее, труднее и с ошибками! Но…

Вот таблица умножения. Повторяй.

И другой, красивее:

А какие еще хитрые приемы счета придумали ленивые математики? Правильно –возведение числа в степень.

Возведение числа в степень

Если тебе нужно умножить число само на себя пять раз, то математики говорят, что тебе нужно возвести это число в пятую степень. Например,  . Математики помнят, что два в пятой степени – это  . И решают такие задачки в уме – быстрее, легче и без ошибок.

Для этого нужно всего лишь запомнить то, что выделено цветом в таблице степеней чисел. Поверь, это сильно облегчит тебе жизнь.

Кстати, почему вторую степень называют квадратом числа, а третью — кубом? Что это значит? Очень хороший вопрос. Сейчас будут тебе и квадраты, и кубы.

Пример из жизни №1

Начнем с квадрата или со второй степени числа.

Представь себе квадратный бассейн размером   метра на   метра. Бассейн стоит у тебя на даче. Жара и очень хочется купаться. Но… бассейн без дна! Нужно застелить дно бассейна плиткой. Сколько тебе надо плитки? Для того чтобы это определить, тебе нужно узнать площадь дна бассейна.

Ты можешь просто посчитать, тыкая пальцем, что дно бассейна состоит из   кубиков метр на метр. Если у тебя плитка метр на метр, тебе нужно будет   кусков. Это легко… Но где ты видел такую плитку? Плитка скорее будет   см на   см. И тогда «пальцем считать» замучаешься. Тогда придется умножать. Итак, по одной стороне дна бассейна у нас поместится   плиток (  штук) и по другой тоже   плиток. Умножив   на  , ты получишь   плиток ( ).

Ты заметил, что для определения площади дна бассейна мы умножили одно и то же число само на себя? Что это значит? Раз умножается одно и то же число, мы можем воспользоваться приемом «возведение в степень». (Конечно, когда у тебя всего два числа, все равно перемножить их или возвести в степень. Но если у тебя их много, то возводить в степень значительно проще и ошибок при расчетах получается тоже меньше. Для ЕГЭ это очень важно). Итак, тридцать во второй степени будет   ( ). Или же можно сказать, что тридцать в квадрате будет  . Иными словами, вторую степень числа всегда можно представить в виде квадрата. И наоборот, если ты видишь квадрат – это ВСЕГДА вторая степень какого-то числа. Квадрат – это изображение второй степени числа.

Пример из жизни №2

Вот тебе задание, посчитать, сколько квадратов на шахматной доске с помощью квадрата числа… По одной стороне   клеток и по другой тоже  . Чтобы посчитать их количество, нужно восемь умножить на восемь или… если заметить, что шахматная доска – это квадрат со стороной  , то можно возвести восемь в квадрат. Получится   клетки. ( ) Так?

Пример из жизни №3

Теперь куб или третья степень числа. Тот же самый бассейн. Но теперь тебе нужно узнать, сколько воды придется залить в этот бассейн. Тебе нужно посчитать объем. (Объемы и жидкости, кстати, измеряются в кубических метрах. Неожиданно, правда?) Нарисуй бассейн: дно размером   на   метра и глубиной   метра и попробуй посчитать, сколько всего кубов размером метр на метр войдет в твой бассейн.

Прямо показывай пальцем и считай! Раз, два, три, четыре…двадцать два, двадцать три… Сколько получилось? Не сбился? Трудно пальцем считать? Так-то! Бери пример с математиков. Они ленивы, поэтому заметили, что чтобы посчитать объем бассейна, надо перемножить друг на друга его длину, ширину и высоту. В нашем случае объем бассейна будет равен   кубов… Легче правда?

А теперь представь, насколько математики ленивы и хитры, если они и это упростили. Свели все к одному действию. Они заметили, что длина, ширина и высота равна и что одно и то же число перемножается само на себя… А что это значит? Это значит, что можно воспользоваться степенью. Итак, то, что ты   раз считал пальцем, они делают в одно действие: три в кубе равно  . Записывается это так:  .

Остается только запомнить таблицу степеней. Если ты, конечно, такой же ленивый и хитрый как математики. Если любишь много работать и делать ошибки – можешь продолжать считать пальцем.

Ну и чтобы окончательно убедить тебя, что степени придумали лодыри и хитрюги для решения своих жизненных проблем, а не для того чтобы создать тебе проблемы, вот тебе еще пара примеров из жизни.

Пример из жизни №4

У тебя есть   миллиона рублей. В начале каждого года ты зарабатываешь на каждом миллионе еще один миллион. То есть каждый твой миллион в начале каждого года удваивается. Сколько денег у тебя будет через   лет? Если ты сейчас сидишь и «считаешь пальцем», значит ты очень трудолюбивый человек и.. глупый. Но скорее всего ты дашь ответ через пару секунд, потому что ты – умный! Итак, в первый год — два умножить на два… во второй год — то, что получилось, еще на два, в третий год… Стоп! Ты заметил, что число   перемножается само на себя   раз. Значит, два в пятой степени –   миллиона! А теперь представь, что у вас соревнование и эти   миллиона получит тот, кто быстрее посчитает… Стоит запомнить степени чисел, как считаешь?

Пример из жизни №5

У тебя есть   миллиона. В начале каждого года ты зарабатываешь на каждом миллионе еще два. Здорово правда? Каждый миллион утраивается. Сколько денег у тебя будет через   года? Давай считать. Первый год —   умножить на  , потом результат еще на  … Уже скучно, потому что ты уже все понял: три умножается само на себя   раза. ачит   в четвертой степени равно   миллион. Надо просто помнить, что три в четвертой степени это   или  .

Теперь ты знаешь, что с помощью возведения числа в степень ты здорово облегчишь себе жизнь. Давай дальше посмотрим на то, что можно делать со степенями и что тебе нужно знать о них.

Термины и понятия… чтобы не запутаться

Итак, для начала давай определим понятия. Как думаешь, что такое показатель степени? Это очень просто – это то число, которое находится «вверху» степени числа. Не научно, зато понятно и легко запомнить…

Ну и заодно, что такое основание степени? Еще проще – это то число, которое находится внизу, в основании.

Вот тебе рисунок для верности.

Ну и в общем виде, чтобы обобщить и лучше запомнить… Степень с основанием « » и показателем « » читается как «  в степени  » и записывается следующим образом:

Далее, почему говорят «степень числа с натуральным показателем»?

Степень числа с натуральным показателем

Ты уже наверное, догадался: потому что показатель степени – это натуральное число. Да, но что такое натуральное число? Элементарно! Натуральные это те числа, которые используются в счете при перечислении предметов: один, два, три… Мы же когда считаем предметы не говорим: «минус пять», «минус шесть», «минус семь». Мы так же не говорим: «одна третья», или «ноль целых, пять десятых». Это не натуральные числа. А какие это числа как ты думаешь?

Числа типа «минус пять», «минус шесть», «минус семь» относятся к целым числам. Вообще, к целым числам относятся все натуральные числа, числа противоположные натуральным (то есть взятые со знаком минус), и число  . Ноль понять легко – это когда ничего нет. А что означают отрицательные («минусовые») числа? А вот их придумали в первую очередь для обозначения долгов: если у тебя баланс на телефоне   рублей, это значит, что ты должен оператору   рублей.

Всякие дроби — это рациональные числа. Как они возникли, как думаешь? Очень просто. Несколько тысяч лет назад наши предки обнаружили, что им не хватает натуральных чисел для измерения длинны, веса, площади и т.п. И они придумали рациональные числа… Интересно, правда ведь?

Есть еще иррациональные числа. Что это за числа? Если коротко, то бесконечная десятичная дробь. Например, если длину окружности разделить на ее диаметр, то в получится иррациональное число  .

Резюме:

Натуральными называются числа, используемые при счете, то есть   и т.д. Целыми – все натуральные числа, натуральные с минусом и число 0. Рациональными считаются дробные числа. Иррациональные числа – это бесконечная десятичная дробь

Степень с натуральным показателем {n = 1, 2, 3,…}

Определим понятие степени, показатель которой — натуральное число (т.е. целое и положительное).

1. Любое число в первой степени равно самому себе:  
2. Возвести число в квадрат — значит умножить его само на себя:  
3. Возвести число в куб — значит умножить его само на себя три раза:  

Определение. Возвести число в натуральную степень   — значит умножить число само на себя   раз:  .

Примеры:

1.  
2.  
3.  

Свойства степеней

Произведение степеней	1)   2)
Деление степеней	3)   4)
Возведение степени в степень	5)

Откуда эти свойства взялись? Сейчас покажу.

1.  

Посмотрим: что такое   и  ? 

По определению:

Сколько здесь множителей всего?

Очень просто: к   множителям мы дописали   множителей, итого получилось   множителей.

Итак, в правой части этого выражения получается такое произведение:

Но по определению это степень числа   с показателем  , то есть:  , что и требовалось доказать.

Пример: Упростите выражение  .

Решение:  

Пример: Упростите выражение  .

Решение: Важно заметить, что в нашем правиле обязательно должны быть одинаковые основания! Поэтому степени с основанием   мы объединяем, а   остается отдельным множителем:

Еще одно важное замечание: это правило – только для произведения степеней!

Ни в коем случае нельзя написать, что  .  

2. то и есть  -ая степень числа  

Так же, как и с предыдущим свойством, обратимся к определению степени:

Перегруппируем это произведение так:

Получается, что выражение   умножается само на себя   раз, то есть, согласно определению, это и есть  -ая степень числа  :

 , ч.т.д.

По сути это можно назвать «вынесением показателя за скобки». Но никогда нельзя этого делать в сумме:

 !

Вспомним формулы сокращенного умножения: сколько раз нам хотелось написать  ?

Но это неверно, ведь  .

Степень с отрицательным основанием

До этого момента мы обсуждали только то, каким должен быть показатель степени.

Но каким должно быть основание?

В степенях с натуральным показателем основание может быть любым числом. И правда, мы ведь можем умножать друг на друга любые числа, будь они положительные, отрицательные, или даже  .

Давайте подумаем, какие знаки (« » или « ») будут иметь степени положительных и отрицательных чисел?

Например, положительным или отрицательным будет число  ? А  ?  ? С первым все понятно: сколько бы положительных чисел мы друг на друга не умножали, результат будет положительным.

Но с отрицательными немного интереснее. Мы ведь помним простое правило из 6 класса: «минус на минус дает плюс». То есть  , , или  . Но если мы   умножим на  , получится  .

И так до бесконечности: при каждом следующем умножении знак будет меняться. Можно сформулировать такие простые правила:

Отрицательное число, возведенное в четную степень, – число положительное. Отрицательное число, возведенное в нечетную степень, – число отрицательное. Положительное число в любой степени – число положительное. Ноль в любой степени равен нулю.

Определи самостоятельно, какой знак будут иметь следующие выражения:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Справился?

Вот ответы: В первых четырех примерах, надеюсь, все понятно? Просто смотрим на основание и показатель степени, и применяем соответствующее правило.

1)  ; 2)  ; 3)  ; 4)  ; 5)  ; 6)  .  

В примере 5) все тоже не так страшно, как кажется: ведь неважно, чему равно основание – степень четная, а значит, результат всегда будет положительным.

Ну, за исключением случая, когда основание равно нулю. Основание ведь не равно  ? Очевидно нет, так как   (потому что  ).

Пример 6) уже не так прост!

Тут нужно узнать, что меньше:   или  ? Если вспомнить, что  , становится ясно, что  , а значит, основание меньше нуля. То есть, применяем правило II: результат будет отрицательным.  

6 примеров для тренировки

1.  

2.  

3.  

4.  

5.  

6.  

 

ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER!

Стать учеником YouClever,

Подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике, 

А также получить доступ к учебнику YouClever без ограничений…

Что значит «возведение в степень»?

Начать следует с объяснения, что называют возведением в степень. Вот соответствующее определение.

Таким образом, нахождение значение степени числа a с показателем r и возведение числа a в степень r – это одно и то же. Например, если поставлена задача «вычислите значение степени (0,5)⁵», то ее можно переформулировать так: «Возведите число 0,5 в степень 5».

Теперь можно переходить непосредственно к правилам, по которым выполняется возведение в степень.

Возведение числа в натуральную степень

По определению степень числа a с натуральным показателем n равна произведению n множителей, каждый из которых равен a, то есть, . Таким образом, чтобы возвести число a в степень n нужно вычислить произведение вида .

Отсюда ясно, что возведение в натуральную степень базируется на умении выполнять умножение чисел, а этот материал охвачен в статье умножение действительных чисел. Рассмотрим решения нескольких примеров.

Что касается возведения в натуральную степень иррациональных чисел, то его проводят после предварительного округления основания степени до некоторого разряда, позволяющего получить значение с заданной степенью точности. Например, пусть нам требуется возвести число пи в квадрат. Если округлить число пи до сотых, то получим , а если взять , то возведение в степень даст .

Здесь стоит сказать, что во многих задачах нет необходимости возводить в степень иррациональные числа. Обычно ответ записывается либо в виде самой степени, например, , либо по возможности проводится преобразование выражения: .

В заключение этого пункта отдельно остановимся на возведении в первую степень. Здесь достаточно знать, что число a в первой степени – это есть само число a, то есть, . Это есть частный случай формулы при n=1.

Например, (−9)¹=−9, а число в первой степени равно .

Возведение в целую степень

Возведение в целую степень удобно рассматривать для трех случаев: для целых положительных показателей, для нулевого показателя, и для целых отрицательных показателей степени.

Так как множество целых положительных чисел совпадает со множеством натуральных чисел, то возведение в целую положительную степень есть возведение в натуральную степень. А этот процесс мы рассмотрели в предыдущем пункте.

Переходим к возведению в нулевую степень. В статье степень с целым показателем мы выяснили, что нулевая степень числа a определяется для любого отличного от нуля действительного числа a, при этом a =1.

Таким образом, возведение любого отличного от нуля действительного числа в нулевую степень дает единицу. Например, 5 =1, (−2,56) =1 и , а 0 не определяется.

Чтобы закончить с возведением в целую степень, осталось разобраться со случаями целых отрицательных показателей. Мы знаем, что степень числа a с целым отрицательным показателем −z определяется как дробь вида . В знаменателе этой дроби находится степень с целым положительным показателем, значение которой мы умеем находить. Осталось лишь рассмотреть несколько примеров возведения в целую отрицательную степень.

В заключение этого пункта стоит отдельно остановиться на возведении в степень −1. Минус первая степень числа a равна числу, обратному числу a. Действительно, . Например, 3⁻¹=1/3, и .

Возведение числа в дробную степень

Возведение числа в дробную степень базируется на определении степени с дробным показателем. Известно, что , где a – любое положительное число, m – целое, а n – натуральное число. Так возведение числа a в дробную степень m/n заменяется двумя действиями: возведением в целую степень (о чем мы говорили в предыдущем пункте) и извлечением корня n-ой степени.

На практике равенство на основании свойств корней обычно применяется в виде . То есть, при возведении числа a в дробную степень m/n сначала извлекается корень n-ой степени из числа a, после чего полученный результат возводится в целую степень m.

Рассмотрим решения примеров возведения в дробную степень.

Отметим, что дробный показатель степени может быть записан в виде десятичной дроби или смешанного числа, в этих случаях его следует заменить соответствующей обыкновенной дробью, после чего выполнять возведение в степень.

Следует также сказать, что возведение чисел в рациональные степени является достаточно трудоемким процессом (особенно когда в числителе и знаменателе дробного показателя степени находятся достаточно большие числа), который обычно проводится с использованием вычислительной техники.

В заключение этого пункта остановимся на возведении числа нуль в дробную степень. Дробной степени нуля вида мы придали следующий смысл: при имеем , а при нуль в степени m/n не определен. Итак, нуль в дробной положительной степени равен нулю, например, . А нуль в дробной отрицательной степени не имеет смысла, к примеру, не имеют смысла выражения и 0^-4,3.

Возведение в иррациональную степень

Иногда возникает необходимость узнать значение степени числа с иррациональным показателем. При этом в практических целях обычно достаточно получить значение степени с точностью до некоторого знака. Сразу отметим, что это значение на практике вычисляется с помощью электронной вычислительной техники, так как возведение в иррациональную степень вручную требует большого количества громоздких вычислений. Но все же опишем в общих чертах суть действий.

Чтобы получить приближенное значение степени числа a с иррациональным показателем , берется некоторое десятичное приближение показателя степени , и вычисляется значение степени . Это значение и является приближенным значением степени числа a с иррациональным показателем . Чем более точное десятичное приближение числа будет взято изначально, тем более точное значение степени будет получено в итоге.

В качестве примера вычислим приближенное значение степени 2^1,174367…. Возьмем следующее десятичное приближение иррационального показателя: . Теперь возведем 2 в рациональную степень 1,17 (суть этого процесса мы описали в предыдущем пункте), получаем 2^1,17≈2,250116. Таким образом, 2^1,174367…≈2^1,17≈2,250116. Если взять более точное десятичное приближение иррационального показателя степени, например, , то получим более точное значение исходной степени: 2^1,174367…≈2^1,1743≈2,256833.

Некогда разбираться?

Закажите решение